Принцип локализации Римана и поточечная сходимость рядов Фурье (признак Дини)

Сходимость ряда Фурье и его сумма в точке $x$ зависят только от значений $f$ в сколь угодно малой окрестности $x$. Точнее: $\forall \delta \in (0, \pi)$ частичная сумма $S_n(x)$ допускает представление: $$ S_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\delta}^{\delta} f(x + t) D_n(t) dt + r_n(x), $$ где $r_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} 0$. Здесь $D_n(t) = \dfrac{\sin\left( n + \frac{1}{2} \right)t}{2 \sin \frac{t}{2}}$ — ядро Дирихле.

Определим функцию: $$ g(t) = \begin{cases} 0, & |t| < \delta \\ \dfrac{f(x+t)}{2 \sin \frac{t}{2}}, & \delta < |t| < \pi \end{cases} $$ Тогда: $$ r_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(t) \sin\left( n + \frac{1}{2} \right)t dt. $$ Функция $g(t)$ интегрируема на $[-\pi, \pi]$ (так как $f$ интегрируема, а ${} \dfrac{1}{\sin \dfrac{t}{2}} {}$ ограничена при $|t| \geq \delta$). По лемме Римана: $$ \lim_{n \to \infty} \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(t) \sin\left( n + \frac{1}{2} \right)t dt = 0 \implies r_n(x) \to 0. $$ $\square$

Пусть $f(x)$ интегрируема на $[-\pi, \pi],$ $\exists{M,\delta > 0}~~~\forall{|t| < \delta}$ $$|f(x+t) - A| < M|t|,~~~|f(x-t) - B| < M|t|,~~~~~~t>0$$ тогда $S_{n}(x) \to_{n \to \infty} \dfrac{A+B}{2}$ **Частные случаи** Пусть $f(x)$ непрерывны в $X,$ то $A = B = f(x)$ - Если $f(x)$ монотонно возрастает, то $$\lim_{\widetilde{x} \to x^{+}} f(\widetilde{x}) = A,~~~\lim_{\widetilde{x} \to x^{-}} f(\widetilde{x}) = B$$ - Если $f(x)$ дифференцируема , то $$|f(x+t) - f(x)| = |f^{'}(c) * t| \leq Mt$$

$$S_{n} = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_{n}(t) \, dt = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x + t)D_{n}(t)\, dt =$$ $$=[t = -t] = \dfrac{1}{\pi}\left( \int\limits_{0}^{\pi} f(x+t)D_{n}(t)\, dt + \int\limits_{0}^{\pi} f(x - t)D_{n}(t)\, dt \right) =$$ $$= \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} (f(x+t) + f(x-t))D_{n}(t)\, dt$$ Рассмотрим $\dfrac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} D_{n}(t)\, dt = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \left( \dfrac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos(kt) \right) \, dt = \dfrac{A+B}{2}$ $$S_{n}(x) = \dfrac{A+B}{2} = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} (f(x+t) + f(x - t) - (A+B))D_{n}(t)\, dt =$$ $$\dfrac{1}{\pi}\left( \int\limits_{-\pi}^{\pi} \dfrac{f(x+t)-A}{2\sin\left( \dfrac{t}{2} \right)} * \sin\left( n + \dfrac{1}{2} \right)t \, dt + \int\limits_{-\pi}^{\pi} \dfrac{f(x-t)-B}{2\sin\left( \dfrac{t}{2} \right)} * \sin\left( n + \dfrac{1}{2} \right)t \, dt \right )$$